Propiedades básicas de la Lógica Proposicional

Propiedades básicas I, de la Lógica Proposicional

En lo presente: p, q, h serán proposiciones, juicios declarativos sobre los cuales se puede establecer su valor de verdad, es decir, son o verdaderas V (1) o falsas F (0).

p ∨ p⇔ p;   p∧p⇔p;  p∨V⇔V;   p∧V⇔p;  ⇔p;   p∧F⇔F;

(~p) ∨ p ⇔V,  tercio excluido;   (~p)∧ p ⇔ F, contradicción básica.

~(~p) ⇔ p doble negación;      p⇒ p∨q Ley de adición.  p∧q ⇒p Ley de simplificación.

Los signos de agrupación, paréntesis, corchetes o llaves,  son usados para indicar que es un único juicio declarativo aquellos que requieren de varios signos. Por Ejemplo negación de (~p) es una proposición que usa varios símbolos,   ~ (p∨q) es un juicio que usa cuatro signos para representar una sola idea.

Propiedades básicas II, de la Lógica Proposicional

(p∨q) ⇔ (q∨p);  (p∧q)⇔(q∧p), propiedad conmutativa.

((p∨q)∨h)⇔((p∨q)∨h) propiedad asociativa de la disyunción, tan solo cambia la posición del signo de agrupación. Esta propiedad hace que la escritura p∨q∨h sea correcta.

((p∧q) ∧h)⇔((p∧q)∧h) propiedad asociativa de la conjunción, tan solo cambia la posición del signo de agrupación. Esta propiedad hace que la escritura p∧q∧h sea correcta.

(p∨ (q∧h))⇔((p∨q) ∧ (p∨h));  (p∧ (q∨h))⇔((p∧ q) ∨ (p∧ h))) propiedad distributiva. Notar que los signos de agrupación obliga a pensarla como dos proposiciones.

~(p∨q) ⇔ ((~p) ∧ (~q)) Ley D’Morgan I. La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.

~(p∧q) ⇔ ((~p) ∨ (~q)) Ley D’Morgan II. La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.

Los símbolos ⇔ ⇒ de la presente nota significan que la proposiciones que ellas conectan son equivalentes, es decir, tienen los mismos valores lógicos, con independencia a todos los supuestos posibles para sus proposiciones atómicas. La totalidad de la proposición es una tautología. Las proposiciones condicionales (→) o bicondicionales (↔) serán usados cuando aún no hay seguridad de que las proposiciones que conectan son equivalentes.

(p↔q) ⇔ ((p→q) ∧ (q→p))) Ley del bicondicional.

((p→q) ∧ p) ⇒q modus ponendo ponens.

((p→q) ∧ (~q)) ⇒ (~p)   modus tollendo tollen.

((p∨q) ∧(~p))⇒q   Silogismo disyuntivo.

(p→q) ⇔ ((~q) → (~p)) Ley del contrarrecíproco.

(p→q) ⇔ ((~p) ∨q)

Cuando el estudiante obtiene niveles de precisión en la lectura simbólica proposicional se recomienda evitar el uso excesivo de los signos de agrupación.

La jerarquía de los sinos son: signos de agrupación, bicondicional, condicional, disyunción o conjunción.

 

Organizado por: Dr. Edgar B. Sánchez B.