DEFINICIÓN DE OPUESTO E INVERSO EN LOS NÚMEROS REALES, R.

PROPIEDADES ESENCIALES: MOMENTOS DE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS

PROPIEDADES ESCENCIALES

Sean a,b números reales.

Probar que: a.b=0 si y sólo si a=0 o b=0.

La prueba de esta afirmación, es común para un matemático. La traigo a colación por cuanto la estructura que se usa, aunque sencilla, no es parte de la usanza de todos los habitantes, por cuanto este tipo de discurso pertenece al mundo de la lógica formal.

A primera vista el conectivo  si y sólo si, direccina la prueba en dos sentidos:

Primera: Probar que: a.b=0 → a=0 ∨ b=0.

Segunda: a=0 ∨ b=0 → a.b=0

Esta afirmación se debe a la siguiente tautología: p↔q  ⇔ (p→q)  ∧  (q→p), se usa el signo ⇔, bicondicional o doble condicional, para  indicar que la proposición de la izquierda tiene la misma tabla de verdad que la de la derecha, es decir, una tautología, por tanto, tienen el derecho de sustituirse mutuamente. (Hacer la tabla de verdad de la proposición).

PRIMERA PARTE

Para realizar la prueba de la  proposición: a.b=0  → a=0 o b=0, es aconsejable, tomar en consideración la tautología (p→q ∨h)⇔ (p∧~q → h).  (Hacer la tabla de verdad). Por lo que la proposición   a.b=0 → a=0 o b=0 hay que sustituirla por (a.b=0 ∧ (b ≠ 0))→ a=0 (o por la que es igual a.b=0 ∧ (a ≠ 0) → b=0).

Se entiende ~(a=0) ⇔ a ≠ 0.

Se ha reducido la proposición a: (a.b=0 ∧ (b ≠ 0)) → a=0, ahora, supongamos que a.b=0 ∧ (b ≠ 0) es verdad, como el conectivo es una disyunción, esto es equivalente a aceptar que  a.b=0 es verdadera y también que b ≠ 0 es verdadera, la prueba termina cuando se concluye que a=0 también es verdadera. Esta última b ≠ 0 nos conduce a la existencia de b^-1 y que b^-1 ≠ 0. (el inverso de un número, por definición, solo existe si éste es distinto de cero y él, a su vez, es distinto de cero). Nos resta, multiplicar a.b=0, ambos lados,  por b^-1 y nos queda (a.b). b^-1 =0. b^-1, aplicando propiedad asociativa se puede decir que: a.(b. b^-1) =0, que es lo mismo que a.(1) =0, concluimos que a=0.

Nota el condicional: p → q es verdadera en tres combinaciones para valores de verdad de las proposiciones p y q, pero cuando se impone que p es verdadera, para conservar la verdad de toda la proposición, q también tiene que serlo. La expresión, supongamos que p es verdadera, para probar la verdad de p → q, deviene, precisamente porque hay tres combinaciones favorables y escogemos una de ellas.

SEGUNDA PARTE

Es momento de dedicarle tiempo y razonamiento a probar la verdad de la proposición: a=0 ∨ b=0  → a.b=0. Esta afirmación sencillamente indica que: todo número multiplicado por 0 da 0. Siguiendo una de las dinámicas para pruebas del condicional (→), se supone que es verdad la parte izquierda y por sustituciones tautológicas se concluirá que la parte derecha también lo es. En nuestro caso, supongamos que es verdad a=0 ∨ b=0, esto indica, por la disyunción (∨) que pueden ser amabas verdaderas o sólo una de ellas.

En el desarrollo de la estrategia de la prueba, es conveniente tener presente la definición formal del opuesto a un número. Dados dos números reales x, y, se dice que x es el opuesto de y si x+y=y+x=0, es decir dos números cualesquiera son opuestos si la suma de ellos es 0, Dada la unicidad del opuesto del número x (probarlo), se denotará como     (-x), por lo que, por definición y anotación, se tiene:  x+(-x)= (-x)+x=0.

Usando esto y suponiendo que a=0, y apoyándonos de la propiedad (-a)b= -(a.b) (probarlo) se tiene que: a.b=0.b=(a+(-a)).b= a.b+(-a).b= a.b+(-(a.b))=0, por cuanto –(a.b) es el opuesto de a.b. en resumen se ha probado que es verdad que: a.b=0.

Notase que la prueba se ha llevado a cabo sin importar si b es igual a cero o no.

Dr. Edgar B. Sánchez B.    

DEFINICIÓN DE OPUESTO E INVERSO EN LOS NÚMEROS REALES, R.

Dados dos números reales x, y. Se dicen que ellos son opuestos si x+y=y+x=0, es decir, si su suma es igual a cero. En cambio se les llamaría inversos si x.y=y.x=1, es decir, si su producto es uno.  

Nótese que en la definición de números inverso se excluye el cero, sin que haya necesidad imperativa de aclararlo explícitamente, por cuanto, si alguno fuese, el producto sería cero y nuestro interés es que sea uno. Sin embargo, es conveniente indicar, previa a la definición, que tanto “x”, como “y” ambos deben ser distintos de cero. Usando una redacción como la siguiente: Sean x, y ∈ R, con x≠0 e y≠0. Se dice que x,y son inversos si x.y=y.x=1.

Lema de unicidad

Sean x, y ∈ R, con x ≠ 0 e y ≠ 0. El inverso de x es único.

Prueba

Estas pruebas son consideradas en mundo de la enseñanza aprendizaje como sencillas, se usa la palabra obvias, lo que pretendo, con este ejemplo, es contribuir en el afianzamiento de la estructura lógica formal y la prueba matemática en sí.

En efecto, Sean x, y ∈ R, con x ≠ 0 e y ≠ 0. Supongamos que son inversos mutuamente, es decir, x.y=y.x=1. Si x, además de y, tuviese otro inverso, (este forma de pensarlo se denomina reducción al absurdo) digamos z ∈ R, con z ≠ 0  y  z≠y,  se tendría por definición de inverso que: x.z=z.x=1. Ahora usando, adecuadamente las dos afirmaciones: x.y=y.x=1 y x.z=z.x=1, obtenemos que: y=y.1=y.(x.z)= (y.x).z=1.z=z, es decir, y=x. Notase que al comienzo z ≠ y,  luego devino que z=y, estás dos afirmaciones son contradictorias, por tanto no existe tal z. Con esto se concluye que la suposición de que pudiese existir dos inversos para “x” nos conduce a una contracción, por lo que se concluye que el inverso es único. Q.E.D.

En esta  prueba de unicidad del inverso se utiliza como estrategia negar tal afirmación de que el inverso es único, realizar los pasos necesarios hasta llegar a una contradicción. Logrado esto, se concluye que efectivamente hay unicidad.

Apoyado en la tautología: ~p → f ⇔ p, donde “f” es una contradicción. Contradicción es lo contrario a tautología, esta última es verdadera sin importar los valores lógicos dados a las proposiciones elementales que la conforman, mientras que la primera, contradicción, siempre es falsa. 

La forma (~p → f) ⇔ p, es conveniente acostumbrarse: a su escritura, lectura y correcta aplicación. Nótese que “p” es la proposición que nos da el enunciado y deseamos probarla. Se supone, por reducción al absurdo,  la veracidad de su negación, es decir, ~p como verdadero,  y se trabaja hasta lograr una contradicción. Logrado esto, como el razonamiento es equivalente a “p”, se concluye que la proposición “p” es verdadera.

De igual forma se realiza la prueba de la unicidad del reciproco

Lema (el recíproco es único)

Sean x ∈ R, el reciproco es único.

Prueba

En efecto sean x, y, z ∈ R (x, y, z números reales), donde “x” es el recíproco de “y” supongamos que no es único, es decir hay “z” con z ≠ x, que también es reciproco de “x”, es decir: x+y=y+x=0 y también que, x+z=z+x=0, recalquemos y≠z.  Ahora realizaremos los pasos convenientes para lograr una contradicción, todos dentro de las verdades supuestas. Hagámoslo. z=z+0=z+(x+y)=(z+x)+y=0+y=y, por lo que, por transitividad de la igualdad, se tiene que z=y. En resumen se tiene y ≠ z, y además, y=z, esto es una contradicción. Por lo que la afirmación original, que el recíproco es único, es verdadera.

Nota (leer con detenimiento)

Supongamos la existencia de una sociedad monogámica, es decir, que la esposa de un hombre es única, como es posible la inexistencia de una sociedad así, como la que necesitamos,  llamaremos esposa, sólo aquella para la cual haya un documento oficial que lo certifique. Ahora supongamos, en un reducido entorno familiar, Juana es la esposa de Carlos, pudiéramos, sin que haya confusión, gracias a la unicidad, usar a Carlos para identificar a Juana, Basta decir iremos para la casa de la esposa de Carlos y todos sabrán que es la casa de Juana. Y si la unicidad es compartida, también al decir “el esposo de Juana” nos estaremos refiriendo a Carlos.

Gracias a la unicidad para referirnos al reciproco de x ∈ R, usando la misma “x” con un detalle adicional el “-“, por lo que el inverso de “x” será denotado como “-x”. Por definición de inverso nos queda que: x+(-x)=(-x)+x=0. De la misma forma para el inverso. Ruego, aunque no se ve elegante, leer x^-1 como “x” a la menos uno, por cuanto no sé, en la plataforma en facebook, como escribir exponentes. Gracias a la unicidad del inverso para x ∈ R, x ≠ 0, denotaremos su inverso como “x” a la menos uno, x^-1. Por lo que: x.(x^-1)=(x^-1).x=1

Dr. Edgar B. Sánchez B.