PROPIEDADES ESENCIALES: MOMENTOS DE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICA

PROPIEDADES ESENCIALES: MOMENTOS DE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS (en corrección)

Probar que: a.b=0 si y sólo si a=0 o b=0.

Prueba formal;

La prueba de esta afirmación, es común para un matemático. La traigo a colación por cuanto la estructura que se usa, aunque sencilla, no es parte de la usanza de todos los habitantes, por cuanto este tipo de discurso pertenece al mundo de la lógica formal y de los estudiantes de matemática, soy uno de ellos.

A primera vista el conectivo si y sólo si, direcciona la prueba en dos sentidos:
Primera: Probar que: a.b=0 → a=0 ∨ b=0.
Segunda: a=0 ∨ b=0 → a.b=0

Esta afirmación se debe a la siguiente tautología: p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p), se usa el signo ⇔, bicondicional o doble condicional, para indicar que la proposición de la izquierda tiene la misma tabla de verdad que la de la derecha, es decir, una tautología, por tanto, tienen el derecho de sustituirse mutuamente. (Hacer la tabla de verdad de la proposición).

PRIMERA PARTE
Para realizar la prueba de la proposición: a.b=0 → a=0 o b=0, es aconsejable, tomar en consideración la tautología (p→q ∨h)⇔ (p∧~q → h). (Hacer la tabla de verdad). Por lo que la proposición a.b=0 → a=0 o b=0 hay que sustituirla por (a.b=0 ∧ (b ≠ 0))→ a=0 (o por la que es igual a.b=0 ∧ (a ≠ 0) → b=0).

Se entiende ~(a=0) ⇔ a ≠ 0.

Se ha reducido la proposición a: (a.b=0 ∧ (b ≠ 0)) → a=0, ahora, supongamos que a.b=0 ∧ (b ≠ 0) es verdad, como el conectivo es una disyunción, esto es equivalente a aceptar que a.b=0 es verdadera y también que b ≠ 0 es verdadera, la prueba termina cuando se concluye que a=0 también es verdadera. Esta última b ≠ 0 nos conduce a la existencia de b-1 y que b-1 ≠ 0. (el inverso de un número, por definición, solo existe si éste es distinto de cero y él, a su vez, es distinto de cero). Nos resta, multiplicar a.b=0, ambos lados, por b-1 y nos queda (a.b). b-1 =0. b-1, aplicando propiedad asociativa se puede decir que: a.(b. b-1) =0, que es lo mismo que a.(1) =0, concluimos que a=0.

Nota el condicional: p → q es verdadera en tres combinaciones distintas para valores de verdad de las proposiciones p y q, pero cuando se impone que p es verdadera, para conservar la verdad de toda la proposición, q también tiene que serlo. La expresión, supongamos que p es verdadera, para probar la verdad de p → q, deviene, precisamente porque hay tres combinaciones favorables y escogemos una de ellas.

SEGUNDA PARTE

Es momento de dedicarle tiempo y razonamiento a probar la verdad de la proposición: a=0 ∨ b=0 → a.b=0. Esta afirmación sencillamente indica que: todo número multiplicado por 0 da 0. Siguiendo una de las dinámicas para pruebas del condicional (→), se supone que es verdad la parte izquierda y por sustituciones tautológicas se concluirá que la parte derecha también lo es.

En nuestro caso, supongamos que es verdad a=0 ∨ b=0, esto indica, por la disyunción (∨) que pueden ser amabas verdaderas o sólo una de ellas.

En el desarrollo de la estrategia de la prueba, es conveniente tener presente la definición formal del opuesto a un número. Dados dos números reales x, y, se dice que x es el opuesto de y si x+y=y+x=0, es decir dos números cualesquiera son opuestos si la suma de ellos es 0, Dada la unicidad del opuesto del número x (probarlo), se denotará como (-x), por lo que, por definición y anotación, se tiene: x+(-x)= (-x)+x=0.

Usando esto y suponiendo que a=0, y apoyándonos de la propiedad (-a)b= -(a.b) (probarlo) se tiene que: a.b=0.b=(a+(-a)).b= a.b+(-a).b= a.b+(-(a.b))=0, por cuanto –(a.b) es el opuesto de a.b. en resumen se ha probado que es verdad que: a.b=0.

Notase que la prueba se ha llevado a cabo sin importar si b es o no igual a cero.

P.D. Por favor, tomar en consideración que facebook no es una página especializada para el uso de signos usados en matemática.

Dr. Edgar B. Sánchez B.