Propiedades básicas I, de la Lógica Proposicional
En lo presente:
p, q, h serán proposiciones, juicios declarativos sobre los cuales se puede
establecer su valor de verdad, es decir, son o verdaderas V (1) o falsas F (0).
p ∨ p⇔ p; p∧p⇔p; p∨V⇔V; p∧V⇔p; 
⇔p; p∧F⇔F;
(~p) ∨ p ⇔V, tercio
excluido; (~p)∧ p ⇔ F, contradicción
básica.
~(~p) ⇔ p doble negación; p⇒ p∨q Ley
de adición. p∧q ⇒p
Ley de simplificación.
Los signos de
agrupación, paréntesis, corchetes o llaves,
son usados para indicar que es un único juicio declarativo aquellos que
requieren de varios signos. Por Ejemplo negación de (~p) es una proposición que usa varios
símbolos, ~ (p∨q) es un juicio que usa
cuatro signos para representar una sola idea.
Propiedades
básicas II, de la Lógica Proposicional
(p∨q) ⇔ (q∨p); (p∧q)⇔(q∧p), propiedad
conmutativa.
((p∨q)∨h)⇔((p∨q)∨h) propiedad asociativa
de la disyunción, tan solo cambia la posición del signo de agrupación. Esta
propiedad hace que la escritura p∨q∨h sea correcta.
((p∧q) ∧h)⇔((p∧q)∧h) propiedad asociativa de la conjunción,
tan solo cambia la posición del signo de agrupación. Esta propiedad hace que la
escritura p∧q∧h sea correcta.
(p∨ (q∧h))⇔((p∨q) ∧ (p∨h)); (p∧ (q∨h))⇔((p∧ q) ∨ (p∧ h))) propiedad distributiva. Notar que los
signos de agrupación obliga a pensarla como dos proposiciones.
~(p∨q)
⇔ ((~p) ∧ (~q)) Ley D’Morgan I. La negación de una disyunción es
equivalente a la conjunción de las negaciones.
~(p∧q)
⇔ ((~p) ∨ (~q)) Ley D’Morgan II. La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción
de las negaciones.
Los símbolos ⇔ ⇒ de
la presente nota significan que la proposiciones que ellas conectan son
equivalentes, es decir, tienen los mismos valores lógicos, con independencia a
todos los supuestos posibles para sus proposiciones atómicas. La totalidad de
la proposición es una tautología. Las proposiciones condicionales (→) o bicondicionales (↔) serán usados cuando aún no hay
seguridad de que las proposiciones que conectan son equivalentes.
(p↔q) ⇔ ((p→q) ∧ (q→p))) Ley del bicondicional.
((p→q) ∧ p) ⇒q modus ponendo
ponens.
((p→q) ∧ (~q)) ⇒ (~p)
modus tollendo tollen.
((p∨q) ∧(~p))⇒q Silogismo disyuntivo.
(p→q)
⇔ ((~q) → (~p)) Ley del
contrarrecíproco.
(p→q) ⇔ ((~p) ∨q)
Cuando el estudiante
obtiene niveles de precisión en la lectura simbólica proposicional se
recomienda evitar el uso excesivo de los signos de agrupación.
La jerarquía de los
sinos son: signos de agrupación, bicondicional, condicional, disyunción o
conjunción.
Organizado por: Dr.
Edgar B. Sánchez B.
