SEMBRANDO ABROJOS

 SEMBRANDO ABROJOS

Cuando el nefasto líder, el de los sobrenombres al pueblo, llegó al poder, se dedicó a mostrar su odio a todo habitante de su tierra y los alrededores, en especial, a las universidades y a los universitarios.

Instauró programas televisivos dedicados a mancillar la memoria de los que se esfuerzan, cual apostolado, a crear estructuras para contribuir en la adquisición del saber.

Su odio desde las vísceras, así lo dijo en cadena nacional, fue un reflejo condicionado por cuanto nunca logró trascender en los concursos que las universidades imponen al personal que desea ingresar como docente.

Lo apoyaban en su idea destructiva los mandingas y los hojillas, personajes del subsuelo prestos aprovechar cualquier pudrición que les brinde desahogo.

Su influencia cómo supremo líder, aún difunto, está presente en los depredadores que históricamente están autorizados a aportar armas.

RESIDENTES ETERNOS DEL PARAÍSO

 

RESIDENTES ETERNOS DEL PARAÍSO

 

De los ruegos que hago a la sublime perfección de la naturaleza, Dios, es precisamente, me ayude entender cuál es la meta principal para la cual existo. Aunque sé que no es dado saber al humano en general, no es lo mismo para los iluminados. Si se popularizara sería uno de los regalos más sublimes. Descartes indica que: “el bien mejor distribuido es el buen juicio, todos están conformes con lo que poseen”

El conocer, para adquirir conocimientos; el saber, como base de la sabiduría y, la iluminación para trascender hacia otros planos de la comprensión, sólo es posible para los que se esfuerzan en alcanzar la llama, símbolo de crecimiento continuado y logros superados,  no se adquiere el saber a saltos,  cualesquiera sean las facetas o las áreas en las que se desee superar la ignorancia o, sencillamente, avanzar en variados temas de la vida, hay que, en espiral holística, empezar desde la base y retornar a ella, para limpiarla de los despojos que, irremediablemente quedan en los primeros acercamientos. Recordemos que: “todos somos ignorantes, solo que en asuntos distintos”.

Lograr profundidades en el saber, para adquirir conocimiento, en  temas de los muchos que hay disponibles y, luego, trascender a la sabiduría con el buen uso que se haga de él,  sólo es posible, si se le dedica tiempo de calidad y lecturas. El conocimiento nunca vendrá como una manzana madura a la que podemos mordisquear y tragar. El conocer no es hipodérmico, hay que prohibir el ascenso de aquellos que no han superado las etapas, de acuerdo a un plan bien diseñado: no en el saber, si en la titulación. Graduar personas sin que cumplan con el saber básico, es actuar cual serpiente engaña, permitiendo que el fruto del árbol de conocer sea cosechado por quien no esta preparado para ello.  

Bien el Antiguo testamento hace referencia a esta imposibilidad, lo hace desde la parábola, desde la metáfora, al prohibir, en el Génesis, el consumo de los frutos maduros y evolucionados de árbol del Jardín del Edén, del “Árbol del conocimiento del bien y el mal”,  Genesis 2:17 “Y ordenó el señor Dios al hombre, diciendo: De todo árbol del huerto podrás comer, pero del árbol del conocimiento del bien y del mal no comerás, porque el día que de él comas, ciertamente morirás”, el escritor del Génisis tiene clara consciencia de que es imposible aprovechar los frutos si no se recorre el camino.  Arduo pero agradable.

El libro del Génsis, el Bareshit, nos hace saber que el conocimiento sólo es posible de un árbol sembrado por quien desea adquirirlo, Hay que transitar todas las etapas, entenderlas y madurarlas. Podemos, para acercarnos, usar como metáfora la vida de  un campesino con manos de tierra, que cultiva plantas con el fin de cosecharlas. Primero  escarba el suelo, el humos, hasta encontrar base solida y posiciona allí la semilla, previamente seleccionada y preparada para garantizarle sólido nacimiento,  luego hay que regarla y cuidarla con esmero para que crezca y de frutos. Algunas no se desarrollarán pero esto no lo desalienta. Sabe que, con esfuerzo, algún árbol se desarrollará y podrá, sin prohibición, cosechar sus frutos.   

El que pretenda, en un vano intento, consumir conocimiento, desde una fruta madurada por otros, a grandes trozos, sabrá, en carne propia, que no quedará nada en él. Claro que el mundo, en el modelo que se sogue, cual engañosa serpiente, mantiene ocupada a la juventud, estudiando temas de variadas índoles sin ir a la base fundamental de cada uno de ellos, de cada conocimiento, y, se engaña a la sociedad, cual serpiente enroscada,  con frutos maduros que la mayoría no pueden consumir. 

No somos hipodérmicos, se requiere secuencias, paso a paso, para que la madurez sobre un determinado contenido sirva de base para otro superior y este, a su vez, para otro, es como avanzar sobre hombros de gigantes, gigantes metafóricos, gigantes que no son otros sino nosotros mismos en distintas facetas.   Si un saber está bien fundamentado y construido,  limpiándole permanente las impurezas, contribuye para que otro se sirva de él, cual peldaño, en una escalera infinita.

Quien logra mejorarse así mismo en saber, tendrá a Lev Vigotsky contribuyéndole en la construcción de la zona de desarrollo próximo. Sólo hay árboles de la sabiduría, cargado de jugosas y tentadoras manzanas, para los que los siembran y cuidan cada rama que aparece. Hay que evitar las engañosas serpientes, que permanentemente muestran rutas cortas para lograr objetivos no duraderos. La máxima perfección de la naturaleza te incita a que redimensione las rutas de aprendizaje y en espiral holística, logres los eternos retornos hasta tomar consciencia de lo construido y aprendido. La limpieza del saber individual sólo es posible desde el esfuerzo, Si deseas consumir jugosas manzanas, debes sembrar la semilla, regarla con cuidado, curarla de malezas que la puedan perturbar y finalmente,  luego de muchos intentos defectuosos, ver maduras las frutas, cosecharlas y consumirlas.

No es suficiente que alguien lo explique, aunque son ayudas muy valiosas, recuerde que los sofistas venden su saber al mejor postor, si no aprovechas la revisión constante desde su interior hasta transformarlo en un diamante bien cortado. Haz la ruta desde los cimientos y pronto llegarás a donde está la flama y nadie, absolutamente nadie tendrá derecho de cosechar las jugosas manzanas.

 

Dr. Edgar B. Sánchez B.

CONVERSATORIO

 

CONVERSATORIO

[4:13 p. m., 6/10/2020]

Hay amigos, de todos los colores, gustos y fiestas. Tengo de todos, soy de los que se acercan a las personas que poseen el don de crecer, eso creo. Mis amigos, todos, crecen a diario. El buen conversar lo encuentro en ellos y sobre todo me soportan, pues son ellos los que saben dialogar, yo no, saben lo difícil que eso, mi familia cercana: hijos, hermanos y sobrinos, saben lo difícil que suelo ser, aún así, saben que los amo, por ello, quepo en sus entornos de familia particular.

He sabido acercarme a aquellos que se alimentan del buen lenguaje y de buenos temas, sobre todo, últimamente, de la música desde lo teórico y desde la ejecución.  De muchos he aprendido el hermoso arte de hacer sonar un instrumento, en particular de tres de ellos, Roger Marín, Richard Rodríguez y José Luis Covarrubias, paralelamente a ellos Ramón Perdomo quien se atrevió señalarme que en mi voz había melodía y, aunque lejos estaba de ser verdad, me lo creí, y eso bastó para  emprender la caminata por el mundo de los sonidos.

Me ha ido bien, entre ellos he tenido diálogos maravillosos. He recibido apoyo en momentos obscuros, en esos que sólo encuentras escalones para sucumbir y, de pronto, una ventana emerge, cual brillo solo posible de emitirse por aquella rosa que una vez, sólo una vez, creció en su jardín.

Me he atrevido, por lo grato el momento que transmitió, hacer públicos una de las conversaciones, espero que este plagio les sea de utilidad, y, si alguna consecuencia he de pagar lo haré con toda la responsabilidad que corresponda.

Así que ruego a ustedes leerlo.

Amigo uno: Profe, te mereces las mejores cosas, tratos, amigos, hembras, vida en plenitud. Debo decirte que es tu responsabilidad construirla desde donde estés y como estés.

Eres muy superior a la media,  estás creciendo y construyendo en la dificultad. Así pues, claro que puedes, además es tu obligación moral contigo mismo. Lo que mereces y quieres está a tu alrededor, si necesitas algo hay que tomarlo, tal como quitar de en medio, lo que pudiéramos llamar despojos, todo aquello  que te separa de logros sublimes. La cizaña, la mediocridad que te rodea, te desmejora, te humilla, no te valora. Pues bien amigo, nunca había escrito ni dicho estas palabras con tanta profundidad interior.

Amigo dos: Gracias amigo, tus palabras siempre me han confortado, por cuanto siento que siempre has estado en el  lugar y momento correcto cuando los infortunios de la vida me han tocado. Agradezco, mucho, más allá de lo que el horizonte marca, tus oportunas opiniones y sugerencias. Bienvenido seas, sobre todo porque vienen de una persona forjada en las calderas del compartir.

Amigo uno: Te mereces mucho más de lo que ya tienes, lo que no tienes  y lo mereces, es porque quieras o no así lo sientes y a partir de allí lo construyes  o lo dejas pasar.

Amigo dos: Estás en toda la razón, tanto la razón como intelecto, como la razón de consciencia y conocimiento de mis avatares y de las cosas y personas que debí alejar de mi entorno. No logro hacerlo son asuntos que mi personalidad  no ha tenido la valentía necesaria para limpiar mi entorno de impurezas que frenan mi desarrollo espiritual, como persona y profesional, son temeroso de busca un crecer de nuevo, no soy lo resiliente  que debiera ser. Acepté una vida no saludable: social, de estudio, de confort espiritual y de logros.

Amigo uno: Somos alienables, te cuento que en varias (que son muchas las ocasiones), he estado a punto de irme en busca de otros horizontes, sin embargo, he entendido que soy amado, me cuidan, me toleran (que no es fácil  por cierto, bueno usted sabe eso), me enaltecen de forma única cualquier bobada y muchas cosas  más que vienen de mis ocurrencias cotidianas, que son verdaderamente valiosas y más a esta edad. Pues a partir de allí, me he frenado y he guardado la furia, la nostalgia de mi  pueblo, el amor de tanta gente, tanta risas llenas de profundo sentimiento de amor y amistad, por demás otros placeres  que también están allá, en mi patria nativa, los he guardado porque, pues, la verdad acá,  lo bueno supera infinitamente lo que no es tan bueno en la profundidad de mi relación de pareja, de padre y otras. Pero la verdad he apartado y apartado  y sigo apartando todo aquello que son solo escombros y que depuro permanentemente, desde dentro de las paredes de apartamento en que vivo, en este país adoptivo.

Amigo dos: En esos asuntos siempre te he considerado exitoso, es más creo que eres un ejemplo a seguir, sortear la dificultades y traumas de las relaciones de familia y convertirlas en éxitos sólo es posible para espíritus evolucionados, de aquellos que lograron  de la naturaleza los grandiosos dones: sabiduría, consejo y temor de Dios. Yo en cambio son en extremo parco en los asuntos de la introspección, pues, me quejo bastante y no actuó para el logro de otros derroteros.

Amigo uno:  El resultado es: Con todas las dificultades económicas que se suscitan que se ven y se sienten mayores fuera de país oriundo, siento que merece la pena y estoy sacando basura y mas basura, repito desde dentro del apartamento  en el donde vivo. Me he alejado sistemáticamente de muchas personas, las he apartado y no les doy un segundo en mí vivir, porque mi vida es muy valiosa para permitir que alguien ajeno  la despilfarren sin mi participación, disfrute y consentimiento. Es el mayor obsequio que me ha dado la pandemia y su tiempo largo para  reflexionar de lo bueno, lo malo y lo feo que me rodea.

Amigo dos: Sé que la introspección es una de tus  fortalezas, por algo profundizas tanto en el estudio de la música y su ejecución, con ella viajas al mundo interior y encuentras el apoyo para disfrutar tus logros y encontrar otros. También, siento en ti, el temor de Dios, esa capacidad que está en todos nosotros e ignorada por muchos, esa facultad que no obliga reflexionar de lo incorrecto que hacemos para corregir, para limpiar nuestra esencia y que en ella quede solo lo vital para continuar nuestro trabajo en pro de la naturaleza de todos los mundo posibles. Se que es don es alto en ti, lo sé por tu forma de ser.

Amigo uno: No me molesta contarte que he llorado de rabia, de impotencia, sobre todo por no tener recurso y cercanía para ayudar a tantos que amo y necesitan un aporte extra, una remesa de amistad, de música que puedo hacerlo y por qué no, de divisas. También he comprendido que lo que no logro no es por la pandemia ni por nada externo, cuesta aceptarlo, es porque no lo he construido dentro de mí los peldaños requeridos para hacerlo, estoy en ese proceso de no perder un segundo más, estando donde no quiero estar, con quien no quiero estar y/o como no quiero estar.

Amigo dos: Yo no he tenido ese valor, valor de improvisar y buscar nuevas rutas, nuevos países, me siento culpable a veces, sobre todo, al inicio de la crisis, me fueron ofrecidas muchas oportunidades de radicarme en otro país, usted fue uno de ellos, yo lo desaproveché, la que si disfruté es el haber vivido en tu casa, la que dejaste, para radicarse en el país en el que estás, disfruté a montón la estadía en esa su propiedad. 

Amigo uno: Te cuento amigo que según las religiones, me he puesto escéptico, pero es que al acercarme un paso más a cierto conocimiento, veo claras las mentiras y  que nos ha vendido todas ellas y nos empujan a diario hacia el abismo. Más bien me acerco y valoro la capacidad de construir desde dentro, sabiendo que Dios es amor y sabiendo que es la fuerza mayor que rige el universo, seguramente la materia oscura, o el vacío cuántico donde la verdadera materia es tan pequeña, a la vez el universo en su totalidad, usted y yo estamos hechos de las mismas partículas.

Amigo dos: Bien sabes amigo mío, que soy agnóstico, al menos no creyente en el dios de las religiones, tampoco el que pregona el libro de los hebreos y recopilado por la comisión septuaginta griega. Uso la categoría Dios para referirme a la naturaleza entera, universal, del multidiverso, te todo el cosmos, incluyendo la expansión permanente.   Sabes bien que creo que la gran inteligencia, la perfección, lo más perfecto esta en totalidad el pancosmo, ella y la evolución se ha hecho sabiduría y ciencia. La naturaleza nos necesita y la necesitamos, es bien y mal in simultáneo, si ante ella hemos de estar de rodillas, es  sólo para sembrarla, para contribuir en su preservación, para escuchar su mensaje, para tratar de entender cuál es nuestro aporte sustancial.

Amigo uno: Desde este plano profe amigo, voy comprendiendo porqué está escrito que estamos hechos a imagen y semejanza de Dios, es decir, somos parte cuántica de eso que queremos asignarle un rostro, pero que al final está en todas partes, en todos nosotros, ciertamente, como de hecho lo estamos nosotros en él. Con los procesos matemáticos que usted afina de forma tan precisa, aún más se ensambla nuestra porción  de Dios al universo que creemos conocer.

Amigo uno: Es tan sencillo como hermoso navegar en el espacio de lo más pequeño y constatar que nunca fueron totalmente errados los orígenes de los mitos y tantas historias que solamente por ser construidas en el interior nuestro, sucedieron en su momento  en este u otro espacio, donde las han minimizado, para hacernos incrédulos y manipularnos en la dirección que necesitan dirigirnos.

Amigo dos: Gracias Roger Marin Castellanos por tus palabas de aliento y confortación.

 

Dr, Edgar B. Sánchez B.

COMIENDO AGUACATES A MONTÓN

 APROVECHO PARA CONTAR PARTE DE MI VIDA

Cuando niño, mis padres eran dueños de una parte del paraíso, claro no estaba incluido el Eufrates y el Tigris,tampoco la serpiente del engaño, sin embargo es el lugar que habita en mi memoria, de esos recuerdos me aferro cuando hay tristeza en mi soul. Les cuento, que cuando tenía unos doce años, me asignaron la tarea de recoger caraotas, ya secas en los gajos de los arbustos, para desgranarlas de su vainas, para ello se usa un garrote liviano y se golpea tantas veces hasta que se desprenda, se llamaba aporrear caraota. Cerca del lugar de trabajo había varios árboles de aguacate cargados con su deliciosa fruta. Solicite a mamá que no nos llevara el almuerzo, que nosotros un trabajador de la finca, llamado Tomás, y yo, haríamos nuestra comida. Así fue, cocinamos varias manos de cambur blanco y nos sentamos debajo del aguacate a disfrutar eso que ahora llaman picnic, habían tantas frutas maduras que se nos descontrolamos comiendo y al atardecer estábamos intoxicados, bueno, esa fue la conclusión que llegamos. Lo cierto es que comimos gran cantidad. Tengo bellos recuerdos de esa finca, en mi Colón del alma , sin embargo este es mi favorito.

REFLEXIÓN SOBRE ALGUNAS NOTACIONES EN MATEMÁTCAS

Reflexiones sobre las notaciones.

Creo que es sencillo recordar que el opuesto de un número real “a” se denota, usando el mismo "a" y agregándole el signo “-”, es decir al opuesto de “a” lo denotamos como “-a”, por lo que “-a” comienza a tener presencia como número real, ahora bien el opuesto de “-a” se denota siguiendo la misma dinámica, se usa el mismo “-a” agregándole “-“ a sus izquierda, por lo que queda “-(-a)”, Usando la definición de opuesto se tienen las siguientes dos afirmaciones: -(-a)+(-a)= (-a)+ (-(-a))=0 y también a+(-a)= (-a)+a=0. Si observamos con detenimiento, haciendo precisión de la definición de opuesto, nos damos cuenta que “-a” tiene dos opuestos como son: “a” y “-(-a)”, ahora, recordemos que el opuesto de todo número real es único por lo que podemos afirmar que –(-a)=a.

Con el mismo razonamiento se obtiene que para números distintos de cero, el inverso del inverso es el original. En lógica formal se dice que la una proposición es equivalente a su doble negación.

Del desarrollo: a.(-b)+ab=a( (-b)+b)=a.0=0, concluimos que a(-b) es opuesto a “a.b”, pero por definición y notación el opuesto de “a.b” es “-(a.b)”, Nuevamente usando unicidad se tiene que: a.(-b)= -(a.b). Igual razonamiento para: (-a).b=.(a.b).

Notemos que el razonamiento es sencillo y de gran sutiliza, para probar asuntos que hemos aceptado casi por antonomasia.

Nótese la sutileza de la ubicación del signo “”-1”, en el inverso, como exponente y, en el opuesto, a la izquierda, multiplicando. Esto es coherente con la notación escogida por los pensadores del lenguaje en matemática por cuanto, si consideramos, que: -x=(-1)x y que las expresiones: x+x+x+x+x, y, x.x.x.x.x en ambas, está repetida cinco veces la “x”, y la primera se denota, 5.x; y la segunda “x a la cinco” (alguien que me enseñe como escribir exponentes en facebook), es decir, x+x+x+x+x=5.x, y que, x.x.x.x.x= “x a la cinco” este estilo conlleva a que en el opuesto, definido conla operación suma, se denote con el “-1” atrás de la “x” multiplicando, mientras que, el inverso, definido con la operación producto, se denote con una “x” y el “-1” como exponente.

Sólo resta aclarar que por comodidad a+(-b), la suma de “a” con el opuesto de “b”, se denota como a-b, es decir, a+(-b)=a-b. y en adelante se escriben varias propiedades tomando en cuenta la nueva notación, sin olvidar que, conviene a veces no olvidar su procedencia.

Dr. Edgar B. Sánchez B.

DEFINICIÓN DE OPUESTO E INVERSO EN LOS NÚMEROS REALES, R.

PROPIEDADES ESENCIALES: MOMENTOS DE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS

PROPIEDADES ESCENCIALES

Sean a,b números reales.

Probar que: a.b=0 si y sólo si a=0 o b=0.

La prueba de esta afirmación, es común para un matemático. La traigo a colación por cuanto la estructura que se usa, aunque sencilla, no es parte de la usanza de todos los habitantes, por cuanto este tipo de discurso pertenece al mundo de la lógica formal.

A primera vista el conectivo  si y sólo si, direccina la prueba en dos sentidos:

Primera: Probar que: a.b=0 → a=0 ∨ b=0.

Segunda: a=0 ∨ b=0 → a.b=0

Esta afirmación se debe a la siguiente tautología: p↔q  ⇔ (p→q)  ∧  (q→p), se usa el signo ⇔, bicondicional o doble condicional, para  indicar que la proposición de la izquierda tiene la misma tabla de verdad que la de la derecha, es decir, una tautología, por tanto, tienen el derecho de sustituirse mutuamente. (Hacer la tabla de verdad de la proposición).

PRIMERA PARTE

Para realizar la prueba de la  proposición: a.b=0  → a=0 o b=0, es aconsejable, tomar en consideración la tautología (p→q ∨h)⇔ (p∧~q → h).  (Hacer la tabla de verdad). Por lo que la proposición   a.b=0 → a=0 o b=0 hay que sustituirla por (a.b=0 ∧ (b ≠ 0))→ a=0 (o por la que es igual a.b=0 ∧ (a ≠ 0) → b=0).

Se entiende ~(a=0) ⇔ a ≠ 0.

Se ha reducido la proposición a: (a.b=0 ∧ (b ≠ 0)) → a=0, ahora, supongamos que a.b=0 ∧ (b ≠ 0) es verdad, como el conectivo es una disyunción, esto es equivalente a aceptar que  a.b=0 es verdadera y también que b ≠ 0 es verdadera, la prueba termina cuando se concluye que a=0 también es verdadera. Esta última b ≠ 0 nos conduce a la existencia de b^-1 y que b^-1 ≠ 0. (el inverso de un número, por definición, solo existe si éste es distinto de cero y él, a su vez, es distinto de cero). Nos resta, multiplicar a.b=0, ambos lados,  por b^-1 y nos queda (a.b). b^-1 =0. b^-1, aplicando propiedad asociativa se puede decir que: a.(b. b^-1) =0, que es lo mismo que a.(1) =0, concluimos que a=0.

Nota el condicional: p → q es verdadera en tres combinaciones para valores de verdad de las proposiciones p y q, pero cuando se impone que p es verdadera, para conservar la verdad de toda la proposición, q también tiene que serlo. La expresión, supongamos que p es verdadera, para probar la verdad de p → q, deviene, precisamente porque hay tres combinaciones favorables y escogemos una de ellas.

SEGUNDA PARTE

Es momento de dedicarle tiempo y razonamiento a probar la verdad de la proposición: a=0 ∨ b=0  → a.b=0. Esta afirmación sencillamente indica que: todo número multiplicado por 0 da 0. Siguiendo una de las dinámicas para pruebas del condicional (→), se supone que es verdad la parte izquierda y por sustituciones tautológicas se concluirá que la parte derecha también lo es. En nuestro caso, supongamos que es verdad a=0 ∨ b=0, esto indica, por la disyunción (∨) que pueden ser amabas verdaderas o sólo una de ellas.

En el desarrollo de la estrategia de la prueba, es conveniente tener presente la definición formal del opuesto a un número. Dados dos números reales x, y, se dice que x es el opuesto de y si x+y=y+x=0, es decir dos números cualesquiera son opuestos si la suma de ellos es 0, Dada la unicidad del opuesto del número x (probarlo), se denotará como     (-x), por lo que, por definición y anotación, se tiene:  x+(-x)= (-x)+x=0.

Usando esto y suponiendo que a=0, y apoyándonos de la propiedad (-a)b= -(a.b) (probarlo) se tiene que: a.b=0.b=(a+(-a)).b= a.b+(-a).b= a.b+(-(a.b))=0, por cuanto –(a.b) es el opuesto de a.b. en resumen se ha probado que es verdad que: a.b=0.

Notase que la prueba se ha llevado a cabo sin importar si b es igual a cero o no.

Dr. Edgar B. Sánchez B.    

DEFINICIÓN DE OPUESTO E INVERSO EN LOS NÚMEROS REALES, R.

Dados dos números reales x, y. Se dicen que ellos son opuestos si x+y=y+x=0, es decir, si su suma es igual a cero. En cambio se les llamaría inversos si x.y=y.x=1, es decir, si su producto es uno.  

Nótese que en la definición de números inverso se excluye el cero, sin que haya necesidad imperativa de aclararlo explícitamente, por cuanto, si alguno fuese, el producto sería cero y nuestro interés es que sea uno. Sin embargo, es conveniente indicar, previa a la definición, que tanto “x”, como “y” ambos deben ser distintos de cero. Usando una redacción como la siguiente: Sean x, y ∈ R, con x≠0 e y≠0. Se dice que x,y son inversos si x.y=y.x=1.

Lema de unicidad

Sean x, y ∈ R, con x ≠ 0 e y ≠ 0. El inverso de x es único.

Prueba

Estas pruebas son consideradas en mundo de la enseñanza aprendizaje como sencillas, se usa la palabra obvias, lo que pretendo, con este ejemplo, es contribuir en el afianzamiento de la estructura lógica formal y la prueba matemática en sí.

En efecto, Sean x, y ∈ R, con x ≠ 0 e y ≠ 0. Supongamos que son inversos mutuamente, es decir, x.y=y.x=1. Si x, además de y, tuviese otro inverso, (este forma de pensarlo se denomina reducción al absurdo) digamos z ∈ R, con z ≠ 0  y  z≠y,  se tendría por definición de inverso que: x.z=z.x=1. Ahora usando, adecuadamente las dos afirmaciones: x.y=y.x=1 y x.z=z.x=1, obtenemos que: y=y.1=y.(x.z)= (y.x).z=1.z=z, es decir, y=x. Notase que al comienzo z ≠ y,  luego devino que z=y, estás dos afirmaciones son contradictorias, por tanto no existe tal z. Con esto se concluye que la suposición de que pudiese existir dos inversos para “x” nos conduce a una contracción, por lo que se concluye que el inverso es único. Q.E.D.

En esta  prueba de unicidad del inverso se utiliza como estrategia negar tal afirmación de que el inverso es único, realizar los pasos necesarios hasta llegar a una contradicción. Logrado esto, se concluye que efectivamente hay unicidad.

Apoyado en la tautología: ~p → f ⇔ p, donde “f” es una contradicción. Contradicción es lo contrario a tautología, esta última es verdadera sin importar los valores lógicos dados a las proposiciones elementales que la conforman, mientras que la primera, contradicción, siempre es falsa. 

La forma (~p → f) ⇔ p, es conveniente acostumbrarse: a su escritura, lectura y correcta aplicación. Nótese que “p” es la proposición que nos da el enunciado y deseamos probarla. Se supone, por reducción al absurdo,  la veracidad de su negación, es decir, ~p como verdadero,  y se trabaja hasta lograr una contradicción. Logrado esto, como el razonamiento es equivalente a “p”, se concluye que la proposición “p” es verdadera.

De igual forma se realiza la prueba de la unicidad del reciproco

Lema (el recíproco es único)

Sean x ∈ R, el reciproco es único.

Prueba

En efecto sean x, y, z ∈ R (x, y, z números reales), donde “x” es el recíproco de “y” supongamos que no es único, es decir hay “z” con z ≠ x, que también es reciproco de “x”, es decir: x+y=y+x=0 y también que, x+z=z+x=0, recalquemos y≠z.  Ahora realizaremos los pasos convenientes para lograr una contradicción, todos dentro de las verdades supuestas. Hagámoslo. z=z+0=z+(x+y)=(z+x)+y=0+y=y, por lo que, por transitividad de la igualdad, se tiene que z=y. En resumen se tiene y ≠ z, y además, y=z, esto es una contradicción. Por lo que la afirmación original, que el recíproco es único, es verdadera.

Nota (leer con detenimiento)

Supongamos la existencia de una sociedad monogámica, es decir, que la esposa de un hombre es única, como es posible la inexistencia de una sociedad así, como la que necesitamos,  llamaremos esposa, sólo aquella para la cual haya un documento oficial que lo certifique. Ahora supongamos, en un reducido entorno familiar, Juana es la esposa de Carlos, pudiéramos, sin que haya confusión, gracias a la unicidad, usar a Carlos para identificar a Juana, Basta decir iremos para la casa de la esposa de Carlos y todos sabrán que es la casa de Juana. Y si la unicidad es compartida, también al decir “el esposo de Juana” nos estaremos refiriendo a Carlos.

Gracias a la unicidad para referirnos al reciproco de x ∈ R, usando la misma “x” con un detalle adicional el “-“, por lo que el inverso de “x” será denotado como “-x”. Por definición de inverso nos queda que: x+(-x)=(-x)+x=0. De la misma forma para el inverso. Ruego, aunque no se ve elegante, leer x^-1 como “x” a la menos uno, por cuanto no sé, en la plataforma en facebook, como escribir exponentes. Gracias a la unicidad del inverso para x ∈ R, x ≠ 0, denotaremos su inverso como “x” a la menos uno, x^-1. Por lo que: x.(x^-1)=(x^-1).x=1

Dr. Edgar B. Sánchez B.

PROPIEDADES ESENCIALES: MOMENTOS DE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICA

PROPIEDADES ESENCIALES: MOMENTOS DE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS (en corrección)

Probar que: a.b=0 si y sólo si a=0 o b=0.

Prueba formal;

La prueba de esta afirmación, es común para un matemático. La traigo a colación por cuanto la estructura que se usa, aunque sencilla, no es parte de la usanza de todos los habitantes, por cuanto este tipo de discurso pertenece al mundo de la lógica formal y de los estudiantes de matemática, soy uno de ellos.

A primera vista el conectivo si y sólo si, direcciona la prueba en dos sentidos:
Primera: Probar que: a.b=0 → a=0 ∨ b=0.
Segunda: a=0 ∨ b=0 → a.b=0

Esta afirmación se debe a la siguiente tautología: p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p), se usa el signo ⇔, bicondicional o doble condicional, para indicar que la proposición de la izquierda tiene la misma tabla de verdad que la de la derecha, es decir, una tautología, por tanto, tienen el derecho de sustituirse mutuamente. (Hacer la tabla de verdad de la proposición).

PRIMERA PARTE
Para realizar la prueba de la proposición: a.b=0 → a=0 o b=0, es aconsejable, tomar en consideración la tautología (p→q ∨h)⇔ (p∧~q → h). (Hacer la tabla de verdad). Por lo que la proposición a.b=0 → a=0 o b=0 hay que sustituirla por (a.b=0 ∧ (b ≠ 0))→ a=0 (o por la que es igual a.b=0 ∧ (a ≠ 0) → b=0).

Se entiende ~(a=0) ⇔ a ≠ 0.

Se ha reducido la proposición a: (a.b=0 ∧ (b ≠ 0)) → a=0, ahora, supongamos que a.b=0 ∧ (b ≠ 0) es verdad, como el conectivo es una disyunción, esto es equivalente a aceptar que a.b=0 es verdadera y también que b ≠ 0 es verdadera, la prueba termina cuando se concluye que a=0 también es verdadera. Esta última b ≠ 0 nos conduce a la existencia de b-1 y que b-1 ≠ 0. (el inverso de un número, por definición, solo existe si éste es distinto de cero y él, a su vez, es distinto de cero). Nos resta, multiplicar a.b=0, ambos lados, por b-1 y nos queda (a.b). b-1 =0. b-1, aplicando propiedad asociativa se puede decir que: a.(b. b-1) =0, que es lo mismo que a.(1) =0, concluimos que a=0.

Nota el condicional: p → q es verdadera en tres combinaciones distintas para valores de verdad de las proposiciones p y q, pero cuando se impone que p es verdadera, para conservar la verdad de toda la proposición, q también tiene que serlo. La expresión, supongamos que p es verdadera, para probar la verdad de p → q, deviene, precisamente porque hay tres combinaciones favorables y escogemos una de ellas.

SEGUNDA PARTE

Es momento de dedicarle tiempo y razonamiento a probar la verdad de la proposición: a=0 ∨ b=0 → a.b=0. Esta afirmación sencillamente indica que: todo número multiplicado por 0 da 0. Siguiendo una de las dinámicas para pruebas del condicional (→), se supone que es verdad la parte izquierda y por sustituciones tautológicas se concluirá que la parte derecha también lo es.

En nuestro caso, supongamos que es verdad a=0 ∨ b=0, esto indica, por la disyunción (∨) que pueden ser amabas verdaderas o sólo una de ellas.

En el desarrollo de la estrategia de la prueba, es conveniente tener presente la definición formal del opuesto a un número. Dados dos números reales x, y, se dice que x es el opuesto de y si x+y=y+x=0, es decir dos números cualesquiera son opuestos si la suma de ellos es 0, Dada la unicidad del opuesto del número x (probarlo), se denotará como (-x), por lo que, por definición y anotación, se tiene: x+(-x)= (-x)+x=0.

Usando esto y suponiendo que a=0, y apoyándonos de la propiedad (-a)b= -(a.b) (probarlo) se tiene que: a.b=0.b=(a+(-a)).b= a.b+(-a).b= a.b+(-(a.b))=0, por cuanto –(a.b) es el opuesto de a.b. en resumen se ha probado que es verdad que: a.b=0.

Notase que la prueba se ha llevado a cabo sin importar si b es o no igual a cero.

P.D. Por favor, tomar en consideración que facebook no es una página especializada para el uso de signos usados en matemática.

Dr. Edgar B. Sánchez B.