A PROPÓSITO DE FIBONACCI

A PROPÓSITO DE FIBONACCI

Los números naturales, denotados con la letra N, esos que tanto usamos todos los días, pues son los que permite contar; en este caso incluiré el 0, cero; N={0,1,2,3,4,5,…..} tienen entre tantas características la de poderse agrupar en dos familias: la de los pares y la de los impares.

La precisión de los que son, es directamente proporcional a entender el uso de la palabra existe. Dos definiciones: NÚMERO PAR: Se dice que un número natural “n” es par, si existe otro natural “m” tal que n=2m. Acorde con esto: 8 en N es par, pues existe 4 en N, tal que 8=2x4, y así, usted mismo puede diseñar otros ejemplos. NUMERO IMPAR: Se dice que un número natural “n” es impar, si existe otro natural “m” tal que n=2m+1. En conformidad, 13 es impar, pues existe el 6, tal que 13=2x6+1 (primero el producto y luego la suma, es el orden de la prioridad). OTRAS DEFINICIONES: NATURALES CONSECUTIVOS: Dos naturales cualesquiera son consecutivos si son de la forma: n, n+1; 8 y 9 son consecutivos pues son de la forma 8, 8+1. PARES CONSECUTIVOS: En cambio dos pares son consecutivos si son de la forma 2n, 2n+2, precisando un poco: Se dice que dos números naturales pares h, k, son consecutivos si existe un natural n, tal que h=2n y k=2n+2. Es por eso que se dice que 14 y 16 son pares consecutivos, pues existe el número natural 7, tal que 14=2x7 y 16=2x7+2. IMPARES CONSECUTIVOS: en cambio dos números naturales se les dice impares consecutivos, si son de la forma 2n+1, 2n+3; por lo que 15 y 17 son impares consecutivos, ya que existe el número natural 7, tal que 15=2x7+1 y 17=2x7+3 (repito: no olviden que primero se realiza el producto).

Lema 1: El producto de dos naturales pares consecutivos es igual al cuadrado del número natural impar que está entre ellos, menos uno.
Prueba: Sean los números naturales consecutivos: 2n, 2n+1, 2n+2. Por lo que 2n y 2n+2 son pares consecutivos; el natural impar entre ellos es 2n+1. Ahora la multiplicación: (2n)x(2n+2)=4n2+4n=(2n)2 +2(2n)= [(2n)2 +2(2n)+1]-1= [2n+1]2-1. Aplicando esto, si se desea multiplicar 6x8, basta recordar que es igual a 72-1=48, otro ejemplo 14x16=152-1=225-1=224.

Lema 2: El producto de dos naturales impares consecutivos es igual al cuadrado del número natural par que está entre ellos, menos uno.
Prueba: Sean los números naturales consecutivos: 2n+1, 2n+2, 2n+3. Por lo que 2n+1 y 2n+3 son impares consecutivos; el natural par entre ellos es 2n+2. Ahora la multiplicación de los impares: (2n+1)x(2n+3)=(2n)2+8n+3=[(2n)2 +4(2n)+4]+3-4=[2n+2]2-1. El último término es el cuadrado del par central menos uno. Aplicando esto, si se desea multiplicar 99x101, basta recordar que es 1002 -1=10.000-1=9.999, de igual forma 7x9=82-1=64-1=63.

Nota: Ya sean pares o impares consecutivos el producto entre ellos es el cuadrado del que está en el centro menos uno. Esta prueba sigue estrictamente el razonamiento deductivo, no existe ejemplos donde se pueda falsar, al igual que los de inducción completa. No ocurre lo mismo en el caso de los razonamientos inductivos, en los cuales debemos estar atentos a la falsación.


Edgar B. Sánchez B.