A PROPÓSITO DEL CERO
Al definir una operación ♦
sobre un conjunto “H”, usualmente simbolizado, en ánimo de precisión, como el
par (H,♦). [ésto entre corchetes no lo lean, ♦(H,H)→H, (a,b) →a♦b]. Se aspira
que ♦ acepte a un elemento del conjunto H, como neutro; es decir, que haya un
e, eЄH (se lee e pertenece H, o, e perteneciente H) tal que cualquiera otro b,
bЄH, no sea alterado al operarlo con e: o lo que es igual, e♦b=e♦a=b. eЄH,
desaparece como por arte de magia. “e” por tener esta característica es llamado
“elemento neutro de H” para la operación ♦.
Un elemento “e” con la virtud definida en el parágrafo anterior, es único (en H no hay otro elemento que comparta con “e” la característica de no alterar a los demás). Afirmación: “e es único”; Supongamos que hay dos, “e” y otro más “c”; e,cЄH, c neutro al igual que a, pero, e≠c; ambos cumplirían la propiedad de no alterar a los demás: e♦b=b♦e=b, b♦c=c♦b=b; b representa a cualquier otro elemento del conjunto H, es genérico; jugando un poco con las igualdades tenemos e=e♦c, por ser “c” neutro; e♦c=c por ser “e” neutro; así que, e=e♦c=c; conclusión e=c, por transitividad de la igualdad. Esto conduce a que en el mismo discurso se tiene, simultáneamente, c=e y c≠e, lo que es contradictorio (los políticos juegan con esto, en el arte del engaño); se concluye, por reducción al absurdo, que el supuesto, de que habían dos neutros, es falso. Es suficiente para garantizar que el elemento neutro es único. Probada la unicidad del neutro, se le asigna un nombre, que él sólo tendrá: el más común es “e”, en los números reales “0”.
Ahora, por conveniencia; tomando en cuenta el público holístico al que va dirigido esta reflexión, y en contra de la castrante especialización, cualquiera sea; deberíamos ser transdisciplinarios convivientes de una pluriversidad (no universidad, una versíon), reduzco el estudio al conjunto a los números reales R y a la operación “suma” +, es decir, al par (R,+) y con 0, cero, elemento neutro.
Repito, es intencional. En este conjunto, R, el elemento neutro es denotado con el símbolo “0”, llamado cero (Algunas versiones afirman que éste apareció un siglo después de los demás compañeros del sistema decimal). Por lo que se satisface que a+0=0+a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 0 es el único propietario de las características citadas, se abre otro abanico; “los números opuestos entre si” (si la operación fuera el producto se llamarían inversos entre si). Nuevamente otra definición, a los matemáticos nos encanta estas cosas, definir casi todo en los ensayos que escribimos; siempre, erróneamente, creemos que los lectores no saben buscar en el diccionario los vocablos de esta naturaleza; así que aguanten, en caso que les haya gustado lo acá escrito. Por cierto, creo que sí, de lo contrario estas últimas palabras no las hubieran leído.
Volvamos al tema. Definición: dos números a,bЄR (a, b números reales) se les dice opuestos, si a+b=b+a=0. Aclaro, si se suman dos números y se tiene como resultante el 0 (cero), el neutro, cada uno será el opuesto del otro, en nuestro caso: a es el opuesto de b y, a su vez, b es el opuesto de a.
Ahora viene otra afirmación: “El opuesto para un elemento a de R es único”. Estas afirmaciones usualmente son llamadas “LEMAS”.
Este tipo de discurso precisa claridad de la ley, lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, para una proposición “p”; Enunciado: Si por aceptar la negación de p; ~p, conduce a una contradicción, entonces es cierto p. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación filosófica se llega a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que dimos por ciertas, una de ellas es falsa; reducción al absurdo, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera.
Volvamos a que el opuesto de un elemento en R es único. Supongamos que aЄR tiene dos opuestos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, satisfacen: a+b=b+a=0 y a+c=c+a=0, por lo que: b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos opuestos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición, ~( b≠c) ≡(b=c). Ya que cada elemento de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éste herede el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el opuesto de “a” se usará la misma “a” alterada con el siguiente signo “-” y quedará “-a”: por lo que el opuesto de “a” es “-a” y el de “-a” es –(-a). En resumen: a+(-a)=(-a)+a=0 y (-a)+[-(-a)]=[-(-a)]+(-a)=0, por definición de opuesto.
Esto último, observen bien, da la impresión de que “-a” tiene dos opuestos: “a” y -(-a), pero ya se aclaró que el opuesto es único, por lo que podemos anunciar que –(-a)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que menos por menos es más; el enemigo de mi enemigo es mi amigo.
NOTA FINAL: Por favor matemáticos, no exijan tanto, se que debo probar que el opuesto también es un elemento de R y que usé la propiedad asociativa sin decir que ésta se toma como axioma; Tomando en cuenta la diversidad del público a quienes ve dirigido fue lo más legible que pude hacer.
Edgar B. Sánchez B.
Un elemento “e” con la virtud definida en el parágrafo anterior, es único (en H no hay otro elemento que comparta con “e” la característica de no alterar a los demás). Afirmación: “e es único”; Supongamos que hay dos, “e” y otro más “c”; e,cЄH, c neutro al igual que a, pero, e≠c; ambos cumplirían la propiedad de no alterar a los demás: e♦b=b♦e=b, b♦c=c♦b=b; b representa a cualquier otro elemento del conjunto H, es genérico; jugando un poco con las igualdades tenemos e=e♦c, por ser “c” neutro; e♦c=c por ser “e” neutro; así que, e=e♦c=c; conclusión e=c, por transitividad de la igualdad. Esto conduce a que en el mismo discurso se tiene, simultáneamente, c=e y c≠e, lo que es contradictorio (los políticos juegan con esto, en el arte del engaño); se concluye, por reducción al absurdo, que el supuesto, de que habían dos neutros, es falso. Es suficiente para garantizar que el elemento neutro es único. Probada la unicidad del neutro, se le asigna un nombre, que él sólo tendrá: el más común es “e”, en los números reales “0”.
Ahora, por conveniencia; tomando en cuenta el público holístico al que va dirigido esta reflexión, y en contra de la castrante especialización, cualquiera sea; deberíamos ser transdisciplinarios convivientes de una pluriversidad (no universidad, una versíon), reduzco el estudio al conjunto a los números reales R y a la operación “suma” +, es decir, al par (R,+) y con 0, cero, elemento neutro.
Repito, es intencional. En este conjunto, R, el elemento neutro es denotado con el símbolo “0”, llamado cero (Algunas versiones afirman que éste apareció un siglo después de los demás compañeros del sistema decimal). Por lo que se satisface que a+0=0+a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 0 es el único propietario de las características citadas, se abre otro abanico; “los números opuestos entre si” (si la operación fuera el producto se llamarían inversos entre si). Nuevamente otra definición, a los matemáticos nos encanta estas cosas, definir casi todo en los ensayos que escribimos; siempre, erróneamente, creemos que los lectores no saben buscar en el diccionario los vocablos de esta naturaleza; así que aguanten, en caso que les haya gustado lo acá escrito. Por cierto, creo que sí, de lo contrario estas últimas palabras no las hubieran leído.
Volvamos al tema. Definición: dos números a,bЄR (a, b números reales) se les dice opuestos, si a+b=b+a=0. Aclaro, si se suman dos números y se tiene como resultante el 0 (cero), el neutro, cada uno será el opuesto del otro, en nuestro caso: a es el opuesto de b y, a su vez, b es el opuesto de a.
Ahora viene otra afirmación: “El opuesto para un elemento a de R es único”. Estas afirmaciones usualmente son llamadas “LEMAS”.
Este tipo de discurso precisa claridad de la ley, lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, para una proposición “p”; Enunciado: Si por aceptar la negación de p; ~p, conduce a una contradicción, entonces es cierto p. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación filosófica se llega a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que dimos por ciertas, una de ellas es falsa; reducción al absurdo, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera.
Volvamos a que el opuesto de un elemento en R es único. Supongamos que aЄR tiene dos opuestos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, satisfacen: a+b=b+a=0 y a+c=c+a=0, por lo que: b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos opuestos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición, ~( b≠c) ≡(b=c). Ya que cada elemento de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éste herede el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el opuesto de “a” se usará la misma “a” alterada con el siguiente signo “-” y quedará “-a”: por lo que el opuesto de “a” es “-a” y el de “-a” es –(-a). En resumen: a+(-a)=(-a)+a=0 y (-a)+[-(-a)]=[-(-a)]+(-a)=0, por definición de opuesto.
Esto último, observen bien, da la impresión de que “-a” tiene dos opuestos: “a” y -(-a), pero ya se aclaró que el opuesto es único, por lo que podemos anunciar que –(-a)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que menos por menos es más; el enemigo de mi enemigo es mi amigo.
NOTA FINAL: Por favor matemáticos, no exijan tanto, se que debo probar que el opuesto también es un elemento de R y que usé la propiedad asociativa sin decir que ésta se toma como axioma; Tomando en cuenta la diversidad del público a quienes ve dirigido fue lo más legible que pude hacer.
Edgar B. Sánchez B.
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